ریاضیات
ریاضیات (از یونانی: μάθημα ، máthēma ، “دانش ، مطالعه ، یادگیری”) شامل مطالعه موضوعاتی مانند کمیت (نظریه اعداد) ، ساختار (جبر) ، فضا (هندسه) ، و تغییر (تجزیه و تحلیل).این تعریف به طور کلی پذیرفته نشده است.
ریاضی دانان به دنبال و استفاده از الگوها برای تدوین حدس های جدید هستند. آنها با اثبات ریاضی صحت یا کذب آن را برطرف می کنند. وقتی ساختارهای ریاضی الگوهای مناسبی از پدیده های واقعی هستند ، از استدلال ریاضی می توان برای ارائه بینش یا پیش بینی در مورد طبیعت استفاده کرد. با استفاده از انتزاع و منطق ، ریاضیات از طریق شمارش ، محاسبه ، اندازه گیری و مطالعه سیستماتیک اشکال و حرکت اجسام فیزیکی توسعه یافت. ریاضیات عملی از همان زمان که سوابق مکتوب وجود داشت ، یک فعالیت بشری بوده است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی می تواند سالها یا حتی قرنها تحقیق پایدار به طول انجامد.
استدلالهای سختگیرانه برای اولین بار در ریاضیات یونانی ظاهر شد ، مهمترین آنها در عناصر اقلیدس. از زمان فعالیت های پیشگامانه جوزپه پانو (۱۸۵۸-۱۹۳۲) ، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲-۱۹۴۳) و دیگران در مورد سیستم های بدیهی در اواخر قرن ۱۹ ، مرسوم شده است که تحقیقات ریاضی را با استنباط دقیق از بدیهیات انتخاب شده به عنوان اثبات حقیقت در نظر بگیریم. و تعاریف تا زمان رنسانس ، ریاضیات با سرعت نسبتاً آهسته ای توسعه یافت ، زمانی که نوآوری های ریاضی در تعامل با کشفیات جدید علمی منجر به افزایش سریع میزان کشف ریاضی شد که تا به امروز ادامه داشته است.
ریاضیات در بسیاری از زمینه ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی و علوم اجتماعی ضروری است. ریاضیات کاربردی منجر به ایجاد رشته های ریاضی کاملاً جدید ، مانند آمار و نظریه بازی ها شده است. ریاضیدانان بدون هیچ گونه کاربردی در ریاضیات محض (ریاضیات به خاطر خود) مشغول می شوند ، اما برنامه های کاربردی عملی برای آنچه ریاضیات محض شروع شد اغلب بعداً کشف می شود.
تاریخچه
تاریخ ریاضیات را می توان مجموعه ای از انتزاعات در حال افزایش دانست. اولین انتزاعی ، که توسط بسیاری از حیوانات به اشتراک گذاشته می شود ، احتمالاً اعداد بوده است: درک اینکه مجموعه ای از دو سیب و مجموعه ای از دو پرتقال (به عنوان مثال) دارای ویژگی های مشترک هستند ، یعنی تعداد اعضای آنها.
همانطور که بر اساس اندازه گیری های موجود روی استخوان نشان داده می شود ، مردم ماقبل تاریخ علاوه بر تشخیص نحوه شمارش اشیاء فیزیکی ، نحوه شمارش مقادیر انتزاعی ، مانند زمان – روزها ، فصول یا سالها را نیز تشخیص داده اند.
شواهد برای ریاضیات پیچیده تر تا حدود ۳۰۰۰ سال قبل از میلاد مسیح ظاهر نمی شود ، زمانی که بابلی ها و مصری ها از حساب ، جبر و هندسه برای مالیات و دیگر محاسبات مالی ، برای ساختمان و ساختمان و نجوم استفاده کردند.قدیمی ترین متون ریاضی بین النهرین و مصر از ۲۰۰۰ تا ۱۸۰۰ قبل از میلاد است. بسیاری از متون اولیه از سه گانه فیثاغورث نام می برند و بنابراین ، با استنباط ، قضیه فیثاغورث به نظر می رسد کهن ترین و گسترده ترین تحول ریاضی پس از حساب و هندسه اساسی باشد.در ریاضیات بابل است که حساب ابتدایی (جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم) برای اولین بار در پرونده باستان شناسی ظاهر می شود. بابلی ها همچنین دارای سیستم ارزش مکانی بودند و از یک سیستم اعداد جنسیتی استفاده می کردند که امروزه هنوز برای اندازه گیری زوایا و زمان استفاده می شود.
از قرن ششم پیش از میلاد با فیثاغورثیان ، با ریاضیات یونانی ، یونانیان باستان مطالعه سیستماتیک ریاضیات را به عنوان موضوعی به خودی خود آغاز کردند.در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد مسیح ، اقلیدس روش بدیهی را که هنوز در ریاضیات امروزه استفاده می شود ، شامل تعریف ، بدیهیات ، قضیه و اثبات معرفی کرد. کتاب او ، عناصر ، به طور گسترده ای موفق ترین و تأثیرگذارترین کتاب درسی تمام دوران محسوب می شود. بزرگترین ریاضیدان دوران باستان اغلب ارشمیدس (حدود ۲۸۷–۲۱۲ پیش از میلاد) سیراکوز است. وی فرمولهایی را برای محاسبه سطح و حجم جامدات انقلاب ایجاد کرد و از روش خستگی برای محاسبه مساحت زیر قوس یک سهمی با جمع یک سری بی نهایت ، به شکلی که چندان بی شباهت با محاسبات مدرن نیست ، استفاده کرد.سایر دستاوردهای قابل توجه ریاضیات یونانی عبارتند از: مقاطع مخروطی (آپولونیوس پرگا ، قرن سوم پیش از میلاد) ، مثلثات (هیپارخوس نیکایی ، قرن دوم پیش از میلاد) ، و آغاز جبر (دیوفانتوس ، قرن سوم میلادی).
سیستم عددی هندو – عربی و قوانین استفاده از عملیات آن ، که امروزه در سراسر جهان مورد استفاده قرار می گیرد ، در طول هزاره اول میلادی در هند تکامل یافت و از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب منتقل شد.سایر تحولات قابل توجه ریاضیات هند شامل تعریف و تقریب سینوس و کسینوس و شکل اولیه سری بی نهایت است.
در دوران طلایی اسلام ، به ویژه در قرون ۹ و ۱۰ ، ریاضیات بسیاری از نوآوری های مهم را که بر پایه ریاضیات یونانی ساخته شده بود ، مشاهده کرد. مهمترین دستاورد ریاضیات اسلامی توسعه جبر بود. از دیگر دستاوردهای دوره اسلامی می توان به پیشرفت در مثلثات کروی و افزودن اعشار به سیستم اعداد عربی اشاره کرد. بسیاری از ریاضیدانان برجسته این دوره فارسی بودند ، مانند خوارسیمی ، عمر خیام و شرف الدین الاسی.
در اوایل دوره مدرن ، ریاضیات با سرعت بیشتری در اروپای غربی توسعه یافت. توسعه حساب توسط نیوتن و لایب نیتس در قرن ۱۷ انقلابی در ریاضیات ایجاد کرد.لئونارد اویلر برجسته ترین ریاضیدان قرن ۱۸ بود که در قضایا و اکتشافات متعدد مشارکت داشت.شاید برجسته ترین ریاضیدان قرن ۱۹ ، کارل فردریش گاوس ریاضیدان آلمانی بود که در زمینه هایی مانند جبر ، تجزیه و تحلیل ، هندسه دیفرانسیل ، نظریه ماتریس ، نظریه اعداد و آمار مشارکت فراوانی داشت. در اوایل قرن بیستم ، کورت گودل با انتشار قضایای ناتمامیت خود ، ریاضیات را دگرگون کرد ، که تا حدی نشان می دهد که هر سیستم بدیهی ثابتی – اگر به اندازه کافی قدرتمند باشد که بتواند حساب را توصیف کند – شامل گزاره های واقعی است که نمی توان آنها را اثبات کرد.
ریاضیات از آن زمان بسیار گسترش یافته است و بین ریاضیات و علم تعامل مثمر ثمر بوده است ، به نفع هر دو. اکتشافات ریاضی همچنان در حال انجام است. به گفته میخائیل بی سوریوک ، در شماره ژانویه ۲۰۰۶ بولتن انجمن ریاضی آمریکا ، “تعداد مقالات و کتابهای موجود در پایگاه داده بررسیهای ریاضی از سال ۱۹۴۰ (اولین سال فعالیت MR) در حال حاضر بیش از ۱٫۹ است میلیون و بیش از ۷۵ هزار مورد در سال به پایگاه داده اضافه می شود. اکثریت قریب به اتفاق آثار این اقیانوس شامل قضایای ریاضی جدید و اثبات آنهاست. “
علم اشتقاق لغات
واژه ریاضیات از یونانی باستان máthēma (μάθημα) گرفته شده است ، به معنی “آنچه آموخته می شود” ، [۳۶] “آنچه کسی می شناسد” ، بنابراین “مطالعه” و “علم” نیز وجود دارد. کلمه “ریاضیات” حتی در دوران کلاسیک به معنای باریک تر و فنی تر “مطالعه ریاضی” بود. [۳۷] صفت آن mathēmatikós (μαθηματικός) است ، به معنی “مربوط به یادگیری” یا “مطالعه” ، که به همین ترتیب بیشتر به معنی “ریاضی” است. به طور خاص ، mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη ؛ لاتین ars mathematica) به معنای “هنر ریاضی” بود.
به طور مشابه ، یکی از دو مکتب فکری اصلی در فیثاغورث به نام ریاضیات (μαθηματικοί) معروف بود – که در آن زمان به معنای “یادگیرندگان” بود تا “ریاضی دانان” به معنای امروزی. [۳۸]
در زبان لاتین و انگلیسی تا حدود ۱۷۰۰ ، اصطلاح ریاضیات بیشتر به جای “ریاضیات” به معنای “طالع بینی” (یا گاهی “نجوم”) بود. این معنی به تدریج از ۱۵۰۰ تا ۱۸۰۰ به معنای فعلی آن تغییر کرد. این امر منجر به چندین ترجمه غلط شده است. به عنوان مثال ، هشدار سنت آگوستین مبنی بر اینکه مسیحیان باید از ریاضیات ، یعنی ستاره شناسان مراقب باشند ، بعضاً به عنوان نکوهش ریاضیدانان به اشتباه ترجمه می شود. [۳۹]
شکل ظاهری جمع در زبان انگلیسی ، مانند شکل جمع فرانسوی les mathématiques (و مشتق مفرد la mathématique که کمتر مورد استفاده قرار می گیرد) ، بر اساس جمع جمع خنثی لاتین (Cicero) ، بر اساس جمع یونانی ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) ، برمی گردد. ارسطو (۳۸۴-۳۲۲ قبل از میلاد) از آن استفاده کرد و تقریباً “همه چیز ریاضی است” ، اگرچه ممکن است که انگلیسی فقط صفت ریاضی (al) را به امانت گرفته و نام ریاضیات را دوباره ، پس از الگوی فیزیک و متافیزیک ، که از یونانی به ارث رسیده است. [۴۰] در زبان انگلیسی ، اسم ریاضیات یک فعل مفرد می گیرد. اغلب به ریاضی یا در آمریکای شمالی ریاضی کوتاه می شود.
تعاریف ریاضیات
ریاضیات هیچ تعریف عمومی پذیرفته ای ندارد. ارسطو ریاضیات را “علم کمیت” تعریف کرد و این تعریف تا قرن ۱۸ حاکم بود. با این حال ، ارسطو همچنین خاطر نشان کرد که تمرکز بر کمیت به تنهایی نمی تواند ریاضیات را از علوم مانند فیزیک متمایز کند. به نظر او ، انتزاع و مطالعه کمیت به عنوان یک ویژگی “تفکیک پذیر” از نمونه های واقعی ، ریاضیات را از هم جدا می کند.
در قرن نوزدهم ، هنگامی که مطالعه ریاضیات با شدت بیشتری انجام شد و به مباحث انتزاعی مانند نظریه گروه و هندسه نمایشی پرداخت ، که هیچ ارتباط مشخصی با کمیت و اندازه گیری ندارند ، ریاضیدانان و فیلسوفان شروع به ارائه انواع تعاریف جدید کردند.
بسیاری از ریاضیدانان حرفه ای هیچ علاقه ای به تعریف ریاضیات ندارند یا آن را غیرقابل تعریف می دانند.حتی در مورد اینکه هنر ریاضی هنر است یا علم ، اتفاق نظر وجود ندارد. برخی فقط می گویند: “ریاضیات همان کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند.”
سه نوع برجسته
سه نوع اصلی از تعریف ریاضیات امروزه منطق گرا ، شهودی و فرمالیست نامیده می شود که هر یک بازتاب یک مکتب فلسفی متفاوت است. [۴۴] همه دارای نقص های شدید هستند ، هیچ کدام پذیرش گسترده ای ندارند و هیچ آشتی احتمالی به نظر نمی رسد.
تعاریف منطقی
تعریف اولیه ریاضیات از نظر منطق بنیامین پیرس (۱۸۷۰) بود: “علمی که نتیجه گیری لازم را می کند.” سعی شد ثابت شود که همه مفاهیم ، گزاره ها و اصول ریاضی را می توان به طور کامل بر اساس منطق نمادین تعریف و اثبات کرد. یک تعریف منطقی از ریاضیات عبارت است از راسل (۱۹۰۳) “همه ریاضیات منطق نمادین است”.
تعاریف شهودی
تعاریف شهودی ، که از فلسفه ریاضی دان L. E. Brouwer توسعه یافته است ، ریاضیات را با پدیده های ذهنی مشخصی مشخص می کند. یک مثال از تعریف شهودی این است: “ریاضیات فعالیت ذهنی است که شامل انجام سازه ها یکی پس از دیگری است.” به طور خاص ، در حالی که فلسفه های دیگر ریاضیات به اشیایی اجازه می دهند که وجود آنها ثابت شود حتی اگر ساخته نشوند ، شهودگرایی تنها به اشیاء ریاضی اجازه می دهد که در واقع بتوان آنها را ساخت. شهود گرایان قانون وسط محروم (یعنی ، {\ displaystyle P \ vee \ neg P} {\ displaystyle P \ vee \ neg P}) را رد می کنند. در حالی که این موضع آنها را مجبور می کند تا یک نسخه رایج اثبات را با تناقض به عنوان یک روش اثبات قابل قبول ، یعنی استنتاج {\ displaystyle P} P از {\ displaystyle \ neg P \ به \ bot} {\ displaystyle \ neg P \ رد کنند به \ bot} ، آنها هنوز می توانند {\ displaystyle \ neg P} \ neg P را از {\ displaystyle P \ به \ bot} P \ به \ bot استنباط کنند. برای آنها ، {\ displaystyle \ neg (\ neg P)} {\ displaystyle \ neg (\ neg P)} یک عبارت کاملاً ضعیف تر از {\ displaystyle P} P. [47]
تعاریف فرمالیستی
تعاریف فرمالیستی ریاضیات را با نمادهای آن و قوانین کار بر روی آنها مشخص می کند. هاسکل کاری ریاضیات را صرفاً “علم سیستمهای رسمی” تعریف کرد. [۴۸] یک سیستم رسمی مجموعه ای از نمادها یا نشانه ها و برخی قوانین در مورد چگونگی ترکیب نشانه ها در فرمول ها است. در سیستم های رسمی ، کلمه بدیهی معنای خاصی متفاوت از معنای معمولی “یک حقیقت بدیهی” دارد و برای اشاره به ترکیبی از نشانه ها که در یک سیستم رسمی معین گنجانده شده است بدون نیاز به مشتق با استفاده از قوانین سیستم.
ریاضیات به عنوان علم
کارل فردریش گاوس ریاضیدان آلمانی از ریاضیات به عنوان “ملکه علوم” یاد می کرد.اخیراً ، مارکوس دو ساتوی ریاضیات را “ملکه علم … نیروی محرک اصلی کشف علمی” نامیده است.فیلسوف کارل پوپر مشاهده کرد که “بیشتر نظریه های ریاضی ، مانند نظریه های فیزیک و زیست شناسی ، فرضی قیاسی هستند: بنابراین ، ریاضیات محض بسیار بیشتر از آنچه اخیراً به نظر می رسید به علوم طبیعی نزدیک است”. پوپر همچنین خاطرنشان کرد که “من مطمئناً یک سیستم را فقط در صورتی تجربی یا علمی می پذیرم که بتواند با تجربه آزمایش شود.”
چندین نویسنده معتقدند که ریاضیات یک علم نیست زیرا بر شواهد تجربی تکیه نمی کند.
ریاضیات با بسیاری از زمینه های علوم فیزیکی مشترک است ، به ویژه کاوش در نتایج منطقی فرضیات. شهود و آزمایش نیز در تدوین حدسیات در ریاضیات و علوم (دیگر) نقش دارند. اهمیت ریاضیات تجربی در ریاضیات همچنان افزایش می یابد و محاسبات و شبیه سازی نقش فزاینده ای را در علوم و ریاضیات ایفا می کنند.
نظرات ریاضیدانان در این زمینه متفاوت است. بسیاری از ریاضیدانان احساس می کنند که نامیدن منطقه خود به عنوان یک علم به معنای کوچک شمردن اهمیت جنبه زیبایی شناختی آن و تاریخ آن در هفت هنر سنتی لیبرال است. دیگران احساس می کنند که نادیده گرفتن ارتباط آن با علوم ، چشم پوشی از این واقعیت است که رابط بین ریاضیات و کاربردهای آن در علوم و مهندسی باعث پیشرفت زیادی در ریاضیات شده است. یکی از راه های بروز این تفاوت دیدگاه در بحث فلسفی این است که آیا ریاضیات خلق شده (مانند هنر) یا کشف شده (مانند علم). در عمل ، ریاضیدانان معمولاً با دانشمندان در سطح ناخالص گروه بندی می شوند ، اما در سطوح دقیق تر از هم جدا می شوند. این یکی از مواردی است که در فلسفه ریاضیات مورد توجه قرار گرفته است.
الهام بخش ، ریاضیات محض و کاربردی و زیبایی شناسی
ریاضیات از انواع مختلفی از مسائل ناشی می شود. در ابتدا این موارد در تجارت ، اندازه گیری زمین ، معماری و بعدها نجوم یافت شد. امروزه همه علوم مسائلی را پیشنهاد می کنند که توسط ریاضیدانان مورد مطالعه قرار می گیرد و بسیاری از مشکلات در خود ریاضیات بوجود می آیند. به عنوان مثال ، فیزیکدان ریچارد فاینمن با استفاده از ترکیبی از استدلال ریاضی و بینش فیزیکی ، فرمول یکپارچه مکانیک کوانتوم را اختراع کرد ، و نظریه ریسمان امروز ، یک نظریه علمی که هنوز در حال توسعه است و تلاش می کند چهار نیروی اساسی طبیعت را متحد کند ، همچنان الهام بخش است. ریاضیات جدید.
برخی از ریاضیات فقط در زمینه ای که از آن الهام گرفته است ، مرتبط است و برای حل مشکلات بعدی در آن زمینه کاربرد دارد. اما اغلب ریاضیات با الهام از یک حوزه در بسیاری از زمینه ها مفید واقع می شود و به مجموعه کلی مفاهیم ریاضی می پیوندد. اغلب بین ریاضیات محض و ریاضیات کاربردی تمایز قائل می شوند. با این حال مباحث محض ریاضی غالباً کاربردهایی دارند ، به عنوان مثال. نظریه اعداد در رمزنگاری
این حقیقت شگفت انگیز ، که حتی “خالص ترین” ریاضیات اغلب کاربردهای عملی دارد ، همان چیزی است که فیزیکدان یوجین واینر آن را “اثر نامعقول ریاضیات” نامیده است.مارک اشتاینر ، فیلسوف ریاضیات ، مطالب زیادی در این زمینه نوشته است و اذعان می کند که کاربرد ریاضیات “چالشی برای طبیعت گرایی” است. موجودات ریاضی غیرعلی موجود در فراسوی جهان “یک اتفاق خوشحال کننده” است.از سوی دیگر ، برای برخی از آنتی رئالیست ها ، ارتباطاتی که در بین چیزهای ریاضی به دست می آیند ، فقط نشان دهنده ارتباطاتی است که بین اجسام جهان به دست می آید ، به طوری که “تصادف خوش” رخ ندهد.
همانطور که در بسیاری از زمینه های مطالعه ، انفجار دانش در عصر علمی منجر به تخصص شده است: در حال حاضر صدها حوزه تخصصی در ریاضیات وجود دارد و آخرین طبقه بندی موضوعات ریاضی ۴۶ صفحه است. چندین حوزه ریاضیات کاربردی با سنتهای مرتبط خارج از ریاضی ادغام شده اند و به تنهایی به رشته هایی تبدیل شده اند ، از جمله آمار ، تحقیقات عملیاتی و علوم کامپیوتر.
برای کسانی که از نظر ریاضی تمایل دارند ، اغلب جنبه زیبایی شناسی مشخصی در بسیاری از ریاضیات وجود دارد. بسیاری از ریاضیدانان درباره ظرافت ریاضیات ، زیبایی ذاتی آن و زیبایی درونی صحبت می کنند. سادگی و کلیت ارزش دارد. در اثبات ساده و زیبا زیبایی وجود دارد ، مانند اثبات اقلیدس مبنی بر وجود بی نهایت تعداد اعداد اول ، و در یک روش عددی زیبا که محاسبه را سرعت می بخشد ، مانند تبدیل سریع فوریه. G. H. Hardy در عذرخواهی ریاضیدان اعتقاد داشت که این ملاحظات زیبایی به خودی خود برای توجیه مطالعه ریاضیات محض کافی است. وی معیارهایی مانند اهمیت ، غیرمنتظره بودن ، اجتناب ناپذیری و اقتصاد را عواملی دانست که به زیبایی ریاضی کمک می کند.تحقیقات ریاضی اغلب به دنبال ویژگیهای مهم یک شی ریاضی هستند. یک قضیه بیان شده به عنوان توصیف شی با این ویژگی ها جایزه است. نمونه هایی از استدلال های ریاضی به طور مختصر و مکاشفه در Proofs from THE BOOK منتشر شده است.
محبوبیت ریاضیات تفریحی یکی دیگر از لذتهایی است که بسیاری در حل سوالات ریاضی می یابند. و در افراط اجتماعی دیگر ، فیلسوفان همچنان مشکلاتی را در فلسفه ریاضیات ، مانند ماهیت اثبات ریاضی ، پیدا می کنند.
نشانه گذاری ، زبان و سختگیری
بیشتر نمادهای ریاضی مورد استفاده امروزه تا قرن شانزدهم اختراع نشده است.قبل از آن ، ریاضیات با کلمات نوشته می شد و کشف ریاضی را محدود می کرد.اویلر (۱۷۰۷–۱۷۸۳) مسئول بسیاری از نمادهای مورد استفاده امروز بود. نمادگذاری مدرن ریاضیات را برای افراد حرفه ای بسیار آسان می کند ، اما مبتدیان اغلب آن را دلهره آور می دانند. به گفته باربارا اوکلی ، این را می توان به این دلیل نسبت داد که ایده های ریاضی هم انتزاعی تر و هم رمزنگارتر از ایده های زبان طبیعی هستند.بر خلاف زبان طبیعی ، جایی که مردم اغلب می توانند یک کلمه (مانند گاو) را با شیء فیزیکی که با آن مطابقت دارد برابر کنند ، نمادهای ریاضی انتزاعی هستند و فاقد هرگونه آنالوگ فیزیکی هستند.نمادهای ریاضی نیز نسبت به کلمات معمولی رمزگذاری بیشتری دارند ، بدین معنی که یک نماد واحد می تواند تعدادی از عملیات یا ایده های مختلف را رمزگذاری کند.
درک زبان ریاضی برای مبتدیان دشوار است زیرا حتی اصطلاحات رایج ، مانند یا فقط ، معنای دقیق تری نسبت به آنچه در گفتار روزمره دارند ، دارند و اصطلاحات دیگر مانند باز و زمینه ای به ایده های ریاضی خاصی اشاره دارند ، که تحت پوشش آنها نیست. معانی عوام زبان ریاضی همچنین شامل بسیاری از اصطلاحات فنی مانند homeomorphism و integrable است که در خارج از ریاضیات هیچ معنایی ندارند. علاوه بر این ، عبارات مختصر مانند iff برای “اگر و فقط اگر” متعلق به اصطلاحات ریاضی است. دلایلی برای نشانه گذاری و واژگان فنی خاص وجود دارد: ریاضیات به دقت بیشتری نسبت به گفتار روزمره نیاز دارد. ریاضیدانان از این دقت زبان و منطق به عنوان “سختگیری” یاد می کنند.
اثبات ریاضی اساساً یک امر دقیق است. ریاضیدانان می خواهند قضایای آنها با استفاده از استدلال سیستماتیک از بدیهیات پیروی کنند. این به منظور اجتناب از “قضایای” اشتباه ، بر اساس شهودهای اشتباه است ، که موارد زیادی در تاریخ این موضوع رخ داده است.سطح دقت مورد انتظار در ریاضیات در طول زمان متفاوت بوده است: یونانیان انتظار استدلال های مفصل را داشتند ، اما در زمان اسحاق نیوتن ، روشهای مورد استفاده کمتر دقیق بودند. مشکلات ذاتی تعاریف مورد استفاده نیوتن منجر به تجدید تجزیه و تحلیل دقیق و اثبات رسمی در قرن ۱۹ می شود. درک نادرست از دلیلی برای برخی از تصورات غلط رایج در ریاضیات است. امروزه ریاضیدانان به بحث خود ادامه می دهندبین آنها در مورد اثبات به کمک رایانه از آنجا که تأیید محاسبات بزرگ دشوار است ، در صورت اشتباه بودن برنامه رایانه ای مورد استفاده ، ممکن است چنین اثبات هایی اشتباه باشد.از طرف دیگر ، دستیاران اثبات اجازه می دهند تا تمام جزئیاتی را که نمی توان در اثبات دست نویس ارائه کرد ، تأیید کرد. اطمینان از صحت اثبات طولانی مانند اثبات قضیه فیت – تامپسون را ارائه دهید.
بدیهیات در اندیشه سنتی “حقایقی بدیهی” بودند ، اما این تصور مشکل ساز است.در سطح رسمی ، بدیهیات فقط رشته ای از نمادها است که فقط در زمینه همه فرمولهای مشتق شده یک سیستم بدیهی معنای ذاتی دارد. هدف برنامه هیلبرت این بود که همه ریاضیات را بر مبنای بدیهی محکم قرار دهد ، اما طبق قضیه ناتمامی گودل ، هر سیستم بدیهی (به اندازه کافی قدرتمند) دارای فرمول های غیرقابل تصمیم است. بنابراین بدیهی سازی نهایی ریاضیات غیرممکن است. با این وجود ، ریاضیات اغلب تصور می شود (تا حدی که محتوای رسمی آن باشد) چیزی جز نظریه مجموعه در برخی از بدیهی سازی ها نیست ، به این معنا که هر گزاره یا اثبات ریاضی را می توان در فرمول های نظریه مجموعه ها قرار داد.
زمینه های ریاضی
به طور کلی ، ریاضیات را می توان به مطالعه کمیت ، ساختار ، فضا و تغییر تقسیم کرد (یعنی حساب ، جبر ، هندسه و تحلیل). علاوه بر این دغدغه های اصلی ، زیرمجموعه هایی نیز برای بررسی پیوندها از دل ریاضیات به زمینه های دیگر اختصاص داده شده است: منطق ، نظریه مجموعه ها (مبانی) ، ریاضیات تجربی علوم مختلف (ریاضیات کاربردی) و اخیراً به مطالعه دقیق عدم قطعیت در حالی که برخی از مناطق ممکن است بی ربط به نظر برسند ، برنامه لانگلندز بین مناطقی که قبلاً تصور نمی شد ارتباط دارد ، مانند گروه های گالوا ، سطوح ریمان و نظریه اعداد ، ارتباطاتی پیدا کرده است.
ریاضیات گسسته به طور مرسوم زمینه های ریاضیاتی را که ساختارهای ریاضی را به طور اساسی گسسته و نه پیوسته مطالعه می کنند ، گروه بندی می کند.
مبانی و فلسفه
به منظور روشن شدن مبانی ریاضیات ، زمینه های منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها توسعه داده شد. منطق ریاضی شامل مطالعه ریاضی منطق و کاربردهای منطق رسمی در سایر زمینه های ریاضی است. نظریه مجموعه شاخه ای از ریاضیات است که مجموعه ها یا مجموعه اشیا را مطالعه می کند. عبارت “بحران مبانی” جستجو برای یافتن پایه ای دقیق برای ریاضیات است که تقریباً از سال ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ انجام شد. برخی اختلاف نظرها در مورد مبانی ریاضیات تا به امروز ادامه دارد. بحران بنیادها توسط تعدادی از اختلاف نظرها در آن زمان تحریک شد ، از جمله مناقشه بر سر نظریه مجموعه کانتور و مناقشه بروور -هیلبرت.
منطق ریاضی با تنظیم ریاضیات در یک چارچوب بدیهی دقیق و مطالعه مفاهیم چنین چارچوبی سروکار دارد. به این ترتیب ، محل قضایای ناقص بودن گودل است که (به طور غیررسمی) دلالت بر این دارد که هر سیستم رسمی موثری که شامل محاسبات اساسی باشد ، درصورتیکه صحیح باشد (به این معنی که تمام قضایای قابل اثبات درست هستند) ، لزوما ناقص است (به این معنی که قضایای واقعی وجود دارد. که در آن سیستم قابل اثبات نیست). هر چه مجموعه ای از بدیهیات نظری اعداد به عنوان پایه و اساس در نظر گرفته شود ، گودل نشان داد که چگونه می توان یک بیانیه رسمی ساخت که یک واقعیت نظری اعداد واقعی است ، اما از این بدیهیات نتیجه نمی گیرد. بنابراین ، هیچ سیستم رسمی بدیهی سازی کامل نظریه اعداد کامل نیست. منطق مدرن به نظریه بازگشت ، نظریه مدل و نظریه اثبات تقسیم می شود و با علم کامپیوتر نظری ،و همچنین با نظریه دسته بندی ارتباط تنگاتنگی دارد. در زمینه نظریه بازگشت ، عدم امکان محاسبه کامل نظریه اعداد نیز می تواند به عنوان یک نتیجه از قضیه MRDP به طور رسمی نشان داده شود.
علوم رایانه ای نظری شامل نظریه محاسبه پذیری ، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات است. نظریه محاسبه پذیری محدودیت های مدل های مختلف نظری رایانه ، از جمله معروف ترین مدل-ماشین تورینگ-را بررسی می کند. نظریه پیچیدگی ، مطالعه قابلیت کشش توسط رایانه است. برخی از مشکلات ، گرچه از نظر تئوری با کامپیوتر قابل حل هستند ، اما از نظر زمان و مکان بسیار گران هستند که حل آنها حتی با پیشرفت سریع سخت افزار رایانه ، عملاً غیرممکن است. یک مشکل معروف “P = NP؟” مشکل ، یکی از مشکلات جایزه هزاره است. [۷۶] سرانجام ، نظریه اطلاعات مربوط به میزان داده هایی است که می توان در یک محیط معین ذخیره کرد و از این رو به مفاهیمی مانند فشرده سازی و آنتروپی می پردازد.
ریاضیات محض
سیستم اعداد و نظریه اعداد
مطالعه کمیت با اعداد شروع می شود ، ابتدا اعداد طبیعی آشنا {\ displaystyle \ mathbb {N}} \ mathbb {N} و اعداد صحیح {\ displaystyle \ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} (“اعداد کامل”) و عملیات حسابی روی آنها ، که در حساب مشخص می شوند. خواص عمیق تر اعداد صحیح در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار می گیرد ، که از آنها نتایج مشهوری مانند آخرین قضیه فرما به دست می آید. حدس اصلی دوگانه و حدس گلدباخ دو مشکل حل نشده در نظریه اعداد هستند.
با توسعه بیشتر سیستم اعداد ، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه اعداد منطقی {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \ mathbb {Q} (“کسر”) شناخته می شوند. اینها ، به نوبه خود ، در اعداد واقعی ، {\ displaystyle \ mathbb {R}} \ mathbb {R} وجود دارند که برای نشان دادن محدوده توالی اعداد منطقی و کمیت های پیوسته استفاده می شوند. اعداد واقعی به اعداد مختلط {\ displaystyle \ mathbb {C}} \ mathbb {C} تعمیم داده می شوند. با توجه به قضیه اساسی جبر ، همه معادلات چند جمله ای در یک مجهول با ضرایب مختلط ، بدون در نظر گرفتن درجه چند جمله ای ، در اعداد مختلط دارای راه حل هستند. {\ displaystyle \ mathbb {N}، \ \ mathbb {Z}، \ \ mathbb {Q}، \ \ mathbb {R}} {\ displaystyle \ mathbb {N}، \ \ mathbb {Z}، \ \ mathbb { Q} ، \ \ mathbb {R}} و {\ displaystyle \ mathbb {C}} \ mathbb {C} اولین مراحل سلسله مراتب اعداد هستند که شامل کواترنیون و هشت ضلعی می شود. در نظر گرفتن اعداد طبیعی نیز منجر به اعداد نامتناهی می شود که مفهوم “بی نهایت” را رسمی می کند. یکی دیگر از زمینه های مطالعه اندازه مجموعه ها است که با اعداد اصلی توضیح داده شده است. این شامل اعداد aleph است که امکان مقایسه معنی دار اندازه مجموعه های بی نهایت بزرگ را فراهم می کند.
بدنه:
بسیاری از اشیاء ریاضی ، مانند مجموعه اعداد و توابع ، ساختار داخلی را در نتیجه عملیات یا روابطی که بر روی مجموعه تعریف شده است ، نشان می دهند. ریاضیات سپس خواص مجموعه هایی را که می توانند بر اساس آن ساختار بیان شوند ، مطالعه می کند. به عنوان مثال ، نظریه اعداد ویژگیهای مجموعه اعداد صحیح را که می توانند بر اساس عملیات حساب بیان شوند ، مطالعه می کند. علاوه بر این ، اغلب اتفاق می افتد که چنین مجموعه های ساختار یافته (یا ساختارها) ویژگی های مشابهی را از خود نشان می دهند ، که امکان می دهد ، در مرحله بعدی انتزاع ، بدیهیات را برای طبقه ای از ساختارها بیان کنید ، و سپس بلافاصله تمام کلاس ساختارهای راضی کننده را مطالعه کنید. این بدیهیات بنابراین می توان گروه ها ، حلقه ها ، زمینه ها و دیگر سیستم های انتزاعی را مطالعه کرد. چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) حوزه جبر انتزاعی را تشکیل می دهند.
با کلیت عظیمی که دارد ، جبر انتزاعی اغلب می تواند برای مشکلات ظاهراً نامربوط به کار گرفته شود. به عنوان مثال ، تعدادی از مشکلات قدیمی مربوط به قطب نما و سازه های نازک بالاخره با استفاده از نظریه گالوا ، که شامل نظریه میدان و نظریه گروه است ، حل شد. مثال دیگر یک نظریه جبری ، جبر خطی است ، که مطالعه کلی فضاهای بردار است ، که عناصر آنها به نام بردارها هم کمیت و هم جهت دارند و می تواند برای مدل سازی (روابط بین) نقاط فضا مورد استفاده قرار گیرد. این یکی از نمونه های پدیده ای است که مناطق نامربوط هندسه و جبر در ریاضیات مدرن دارای فعل و انفعالات بسیار قوی هستند. Combinatorics روشهای شمارش تعداد اجسام متناسب با یک ساختار معین را مطالعه می کند.
فضا
مطالعه فضا از هندسه سرچشمه می گیرد-به ویژه هندسه اقلیدسی ، که فضا و اعداد را با هم ترکیب می کند و قضیه معروف فیثاغورس را در بر می گیرد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به روابط بین اضلاع و زوایای مثلث و توابع مثلثاتی می پردازد. مطالعه مدرن فضا این ایده ها را به گونه ای تعمیم می دهد که شامل هندسه ابعاد بالاتر ، هندسه های غیر اقلیدسی (که در نسبیت عام نقش اساسی دارند) و توپولوژی است. کمیت و فضا هر دو در هندسه تحلیلی ، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری نقش دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائل در نظریه اعداد و تجزیه و تحلیل کاربردی توسعه یافته است ، اما اکنون با نگاهی به برنامه های کاربردی در بهینه سازی و علوم کامپیوتر دنبال می شود. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم دسته های فیبر و حساب روی منیفولدها ، به ویژه حساب بردار و تانسور ، وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اجسام هندسی به عنوان مجموعه ای از معادلات چند جمله ای ، ترکیب مفاهیم کمیت و فضا ، و همچنین مطالعه گروههای توپولوژیکی ، که ساختار و فضا را ترکیب می کنند ، است. گروه های دروغ برای مطالعه فضا ، ساختار و تغییر استفاده می شوند. توپولوژی با همه پیامدهای آن ممکن است بزرگترین منطقه رشد در ریاضیات قرن بیستم باشد. این شامل توپولوژی نقطه ای ، توپولوژی نظری مجموعه ، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به طور خاص ، مواردی از توپولوژی امروزی عبارتند از: نظریه قابلیت تبدیل پذیری ، نظریه مجموعه های بدیهی ، نظریه هموتوپی و نظریه مورس. توپولوژی همچنین شامل حدس پوانکره که اکنون حل شده است و مناطق هنوز حل نشده از حدس هاج است. سایر نتایج در هندسه و توپولوژی ، از جمله قضیه چهار رنگ و حدس کپلر ، تنها با کمک رایانه ها به اثبات رسیده است.
تغییرات
درک و توصیف تغییرات موضوعی متداول در علوم طبیعی است و حسابرسی به عنوان ابزاری برای بررسی آن توسعه داده شد. توابع در اینجا به عنوان یک مفهوم مرکزی توصیف کننده مقدار متغیر بوجود می آیند. مطالعه دقیق اعداد واقعی و توابع یک متغیر واقعی به عنوان تجزیه و تحلیل واقعی شناخته می شود ، با تجزیه و تحلیل پیچیده میدان معادل اعداد مختلط. تجزیه و تحلیل عملکردی توجه را بر فضاهای توابع (معمولاً بی نهایت) متمرکز می کند. یکی از بسیاری از کاربردهای تحلیل عملکرد ، مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مشکلات به طور طبیعی منجر به روابط بین مقدار و میزان تغییر آن می شوند و اینها به عنوان معادلات دیفرانسیل مورد بررسی قرار می گیرند. بسیاری از پدیده های موجود در طبیعت را می توان با سیستم های پویا توصیف کرد. نظریه آشوب روشهایی را که بسیاری از این سیستمها رفتارهای غیرقابل پیش بینی و در عین حال قطعی از خود نشان می دهند ، دقیق می کند.
ریاضیات کاربردی
ریاضیات کاربردی مربوط به روش های ریاضی است که معمولاً در علوم ، مهندسی ، تجارت و صنعت استفاده می شود. بنابراین ، “ریاضیات کاربردی” یک علم ریاضی با دانش تخصصی است. اصطلاح ریاضیات کاربردی همچنین توصیف کننده تخصص حرفه ای است که در آن ریاضی دانان روی مسائل عملی کار می کنند. به عنوان حرفه ای که بر مشکلات عملی متمرکز است ، ریاضیات کاربردی بر “تدوین ، مطالعه و استفاده از مدل های ریاضی” در علوم ، مهندسی و سایر زمینه های تمرین ریاضی تمرکز دارد.
در گذشته ، کاربردهای عملی باعث ایجاد نظریه های ریاضی شده بود ، که بعداً موضوع مطالعه ریاضیات محض شد ، جایی که ریاضیات عمدتا به خاطر خود توسعه می یابد. بنابراین ، فعالیت ریاضیات کاربردی با تحقیق در ریاضیات محض ارتباط حیاتی دارد.
آمار و سایر علوم تصمیم گیریریاضیات کاربردی همپوشانی قابل توجهی با رشته آمار دارد ، نظریه ای که به صورت ریاضی تدوین شده است ، به ویژه با نظریه احتمال. آمارشناسان (که به عنوان بخشی از یک پروژه تحقیقاتی کار می کنند) با نمونه گیری تصادفی و آزمایش های تصادفی “داده هایی را ایجاد می کنند که معنا پیدا می کند” ؛طراحی نمونه آماری یا آزمایش تجزیه و تحلیل داده ها (قبل از در دسترس بودن داده ها) را مشخص می کند. هنگام تجدید نظر در داده های آزمایش ها و نمونه ها یا هنگام تجزیه و تحلیل داده های مطالعات مشاهده ای ، آمارشناسان با استفاده از هنر مدل سازی و نظریه استنتاج – با انتخاب و برآورد مدل ، داده ها را “معنا می دهند”. مدل های تخمینی و پیش بینی های نتیجه ای باید بر روی داده های جدید آزمایش شوند.
نظریه آماری مشکلات تصمیم گیری مانند به حداقل رساندن خطر (از دست دادن مورد انتظار) یک اقدام آماری ، مانند استفاده از روشی در ، برای مثال ، برآورد پارامترها ، آزمایش فرضیه ها و انتخاب بهترین ها را مطالعه می کند. در این زمینه های سنتی آمار ریاضی ، یک مسئله تصمیم گیری آماری با به حداقل رساندن یک تابع هدف ، مانند ضرر یا هزینه مورد انتظار ، تحت محدودیت های خاص ، فرموله می شود: به عنوان مثال ، طراحی یک نظر سنجی اغلب شامل به حداقل رساندن هزینه برآورد میانگین جمعیت با یک داده معین است. سطح اطمینان.به دلیل استفاده از بهینه سازی ، نظریه ریاضی آمار با سایر علوم تصمیم گیری مانند تحقیقات عملیات ، نظریه کنترل و اقتصاد ریاضی نگرانی دارد.
ریاضیات محاسبات ریاضیات محاسباتی روش هایی را برای حل مسائل ریاضی پیشنهاد می کند که معمولاً برای ظرفیت عددی انسان بسیار بزرگ است. تجزیه و تحلیل عددی روش هایی را برای مشکلات در تجزیه و تحلیل با استفاده از تجزیه و تحلیل عملکردی و نظریه تقریب مطالعه می کند. تجزیه و تحلیل عددی شامل مطالعه تقریب و تفکیک به طور گسترده با توجه ویژه به خطاهای گرد کردن است. تجزیه و تحلیل عددی و به طور گسترده تر ، محاسبات علمی نیز موضوعات غیرتحلیلی علوم ریاضی ، به ویژه ماتریس الگوریتمی و نظریه نمودار را مطالعه می کند. سایر زمینه های ریاضیات محاسباتی شامل جبر کامپیوتر و محاسبه نمادین است.
جوایز ریاضی
بدون شک معتبرترین جایزه در ریاضیات مدال فیلدز است که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و هر چهار سال یکبار (به استثنای جنگ جهانی دوم) به حداکثر چهار نفر اعطا می شود. مدال فیلدز اغلب ریاضی معادل جایزه نوبل در نظر گرفته می شود.
جایزه گرگ در ریاضیات ، که در سال ۱۹۷۸ تأسیس شد ، دستاوردهای یک عمر را به رسمیت می شناسد ، و جایزه بزرگ دیگر بین المللی ، جایزه آبل ، در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در سال ۲۰۱۰ برای تشخیص موفقیت های مادام العمر معرفی شد. این افتخارات به رسمیت شناختن مجموعه خاصی از کارها ، که ممکن است نوآورانه باشد ، یا راه حلی برای یک مشکل برجسته در یک زمینه ثابت ارائه می شود ، اعطا می شود.
فهرست مشهوری از ۲۳ مسئله باز ، که “مشکلات هیلبرت” نامیده می شود ، در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت تهیه شد. این فهرست در بین ریاضیدانان به شهرت زیادی دست یافت و حداقل ۹ مورد از مشکلات حل شده است. فهرست جدیدی از هفت مشکل مهم با عنوان “مشکلات جایزه هزاره” در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آنها ، فرضیه ریمان ، یکی از مشکلات هیلبرت را تکرار می کند. راه حل هر یک از این مشکلات پاداش ۱ میلیون دلاری دارد. در حال حاضر ، تنها یکی از این مشکلات ، حدس Poincaré ، حل شده است.